みなさんは「アキレスと亀」のパラドックスをご存知ですか？
僕は高校の数学の授業で初めて知ったのですが、大人になってもずっと謎のままでした。
最近ようやく納得できる答えを思いついたので、今回はそれについて書きます。
「アキレスと亀」のパラドックスとは？
「アキレスと亀」のパラドックスは、俊足のアキレスと、のろのろ歩きの亀がかけっこをする話です。足の速さの差を考慮して、アキレスは亀より後ろの位置からスタートします。
よーいドン、でかけっこが始まると、アキレスはすぐに亀のスタート地点にたどり着きます。
しかし、その間に、亀はゆっくりではありながらも確実に歩を進めているので、アキレスよりはまだ前方にいます。
その後再びアキレスがその場所までたどり着いても、やはり亀は前方に。
これを繰り返すと、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけません。
アキレスは亀に比べて圧倒的に足が速いはずなのに、いったいなぜ？というのが、このパラドックスの考察のポイントです。
追いつくまでの時間を無限に分割している
まず僕の結論を書いておくと、アキレスが亀に追いつけないように感じるのは、時間がいくらでも細かく分割できるからです。たとえば、1日（24時間）は1時間ごとに区切ることもできるし、1分、1秒、0.1秒、0.0１秒……にも分割できます。
そうやってひたすら細かく区切っていけば、時間に限りがある1日でも、無限に分割可能です。
「アキレスと亀」の場合、アキレスが「亀が元いた地点」にたどり着く間隔は、両者の距離が縮まるほどに小さくなります。
すると、本来有限であるはずのアキレスが亀に追いつくまでの時間が、「アキレスが亀が元いた地点にたどり着く」という現象によって無限に分割され、まるで永遠に追いつけないかのように錯覚してしまうというわけです。
今日という1日が無限に分割できるとしても、明日は必ずやってきます。
それと同じく、アキレスが亀に追いつく瞬間も、いつか必ず訪れます。
空間的に考えた方が簡単？
先ほどは時間に着目しましたが、空間的に考えた方がわかりやすいかもしれません。本来アキレスが亀に追いつくはずの地点を点Pとします。
すると、アキレスのスタート位置と点Pの間には、「亀が元いた地点」が段々と間隔を狭めながら、無限に存在することになります。
そのため、アキレスが「亀が元いた地点」を通過するたびに検証を行っていくと、永遠に作業が終わりません。
長さに限りがある直線（線分）上でも、数学的にはいくらでも点が打てるので、全て数えるのが不可能なのと同じですね。
有限の中に無限が存在するというのは、理論的にはわかっていても、「アキレスと亀」のように現実的な状況で語られると、頭が混乱しやすいみたいです。
さいごに
本当は、ノートにグラフや数式を書いて考えていたのですが、ブログで説明しようとしたら想像以上に面倒で断念しました。文章だけだと、やっぱり伝わりづらいかな……
実際に亀とアキレスの速さを設定して図にするとわかりやすいので、暇な人はぜひやってみてください。
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